Взаимосвязь математических моделей, описываемых уравнениями с производными целого и дробного порядков

Аннотация

Предложен эвристический принцип эквивалентности дифференциальных уравнений с производными дробного и целого порядков, в соответствии с которым для любого обыкновенного дробно-дифференциального уравнения существует эквивалентное ему по решению обыкновенное дифференциальное уравнение с производными целого порядка, связанное с исходным дробно-дифференциальным уравнением некоторым нелокальным преобразованием. В результате задача исследования математической модели, описываемой дробно-дифференциальным уравнением, сводится к задаче поиска нелокального преобразования, переводящего это уравнение в эквивалентное уравнение с производными целого порядка, и исследованию этого эквивалентного уравнения. В работе приводятся примеры эквивалентных по решению уравнений, подтверждающие предложенный принцип, обсуждаются условия однозначной разрешимости и некоторые качественные свойства таких уравнений. Также показано, что понятие эквивалентности по решению распространяется и на уравнения в частных производных и может быть использовано для построения новых дробно-дифференциальных моделей.